328 OSEEN, UEBER EINIGE BERÜHRUNGSTRANSFORMATIONSGRUPPEN. 



Gruppe, r, transformiert. Dabei muss eine Gerade invariant 

 bleiben. 



Wir wollen nun diese Gruppe, r, wirklich aufstellen. Die 

 inf. Transformationen in V, welche den Punkt s", a;^, x^ , y^ , 

 y^ invariant lassen, sind, wie man sich leicht überzeugt 



(■^'i — •^';)?i + (a'o — ^^'^qi — [(a'i — .»;)■ + 0^-2 — -^'P']*^ , 



(■^1 — a'Ppi — (yi — 3/J)^i + (-^'i — ^^'2)^2 — (3/2—2/2)^2 + 



(2/1 — y;)Pi + (^2— 3/2)i^2 + [y;(yi —3/;) + 3/3(3/2 —3/2)]*^' 



(^1 — .rO)pi + (2/0—3/;)^! + G^'2 — <)i?2 + (3/2—3/3)^2 + 



+ [2(^ - ^0) - 3/; («^1 - ^^"0 - vi i^^ - ^^'J\ ^ 

 und also die inf. Transf. der Gruppe r 

 x\q\ + x\q\, x\p\—y\q\ + x\_p\— y'^_q\, y\p\ + y2P'2 ' 



^>'l + 3/'l^'l + '^>'2 + 3/'2?'2 • 



Wir müssen also die bei dieser Gruppe invarianten Geraden 

 suchen. Man findet durch eine einfache Rechnung, dass sie die 

 folgenden sind: 



ax\ + hx\ ^= 

 ay\ + by\ = 0, 



also die Erzeugenden der einen Schar einer Fläche zweiter Ord- 

 nung. Also erhellt, dass das invariante PFAFF'sche System, 

 dessen Existenz für die Reducibilität nothwendig und hinreichend 

 ist, die Form 



dz — Hida;^ — 3/2 ^"^■^'2 ^= ^ 



a{z , x^ , .^'2 , ?/] , y^ dx^ + ßdx2 = 



ady^ + ßdy^ ■= 



haben muss. Da dieses System die inf. Transformationen mit 

 den charakteristischen Functionen 1, ,t'j , x^^ ?/, , 3/0 gestatten 

 soll, so muss 



a 



— = const. = y . 



ß 



