ÖFVERSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1 90 1 , N:0 5. 329 



Das PFAFF'sche System ist also 



dz — y^dx^ — y<idx^ = 

 ydx-^ + dx^ = 

 ydy^ + dy^ = 

 mit den zwei Integralen 



yx-^ ■\- x^=^ const. == a! 

 yy^ + ^2 = ^'• 

 Werden die sich aus diesen Formeln ergebenden Werthe 

 von x^ und y^ in die Gleichung 



dz — 2/j dx^ — y^dx^ = 

 hineingesetzt, erhält man 



^^ — ((1 + y'l)y^-yh')dx^=^. 



Soll diese PFAFF'sche Gleichung integrabel sein, so rauss 



y = + ^ . 

 Sie giebt dann 



z + ih'x^ = const. = c' . 



Hiermit ist bewiesen, dass die Gruppe V reducibel ist. 

 Aus den vorigen Entwicklungen folgt auch, dass die Gruppen I 

 und IV" irreducibel sind. Denn gäbe es ein bei diesen Gruppen 

 invariantes, o-gliedriges System, dass die Gleichung 



dz — yi^Xi — y^dx^ = 



umfasste, so müsste es das oben abgeleitete sein. Aber dieses 



gestattet nicht die inf. Transformation mit der characteristischen 



Function x' . 

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Es soll endlich noch hervorgehoben werden, dass die Irredu- 

 cibilität der Gruppen I und IV auch aus dem Umstände folgt, 

 dass sie die Untergruppe 1, x^, y^, x~ , a:-^yxi y- besitzen. Wie 

 Herr Scheffers in seiner in der Einleitung genannten Arbeit 

 gezeigt hat, ist nämlich diese Gruppe, auch als Gruppe von B. 

 T. im Räume aufgefasst, irreducibel. 



Wir wollen jetzt die Frage von den Gruppen der zweiten 

 Klasse erledigen. Eine solche Gruppe, die mit (r,. bezeichnet 



