3o4 o SEEN. UEBEK EINIGE BERÜHKUXGSTRANSFOKMATIONSGRDPPEX. 



die Richtungsgruppe von G werden die Richtungen ~', x\, x\, 

 y\, y\ durch ^", .x^ , x^^, y^ , y^^ transformiert. Dabei werden 

 x\, ii-'o, y\, y\ unter sich transformiert und zwar durch die 

 Richtungsgruppe von g. ./■',, a-'.,. y\, y\ können nun als homo- 

 gene Koordinaten der Richtungen des Bündels z — y\'^'\ — y\x'i 

 = aufgefasst werden. Die Richtungsgruppe von g giebt 

 also an. wie die Richtungen in diesem Bündel transformiert 

 werden. Aber von der Gruppe, durch welche diese Richtungen 

 transformiert werden, wissen wir, dass sie entweder die 10-gliedrige 

 Gruppe, welche ein lineares Coraples in sich überführt oder eine 

 Untergruppe dieser Gruppe ist. Die Untergruppen der erwähnten 

 lO-gliedrigen Gruppe hat Herr Kxothe untersucht, i) Aus seiner 

 Arbeit entnehme ich folgendes. Jede Untergruppe, welche eine 

 Fläche zweiter Ordnung in sich überführt, lä^st auch mindestens 

 zwei Geraden invariant. Die einzigen der oben aufgezählten 

 vier Fälle, die in Betracht kommen können, sind also die zwei 

 letzten. 



Der letzte Fall ist besonders leicht zu behandeln. Erstens müs- 

 sen wir nämlich annehmen, dass unsere Gruppe G transitiv ist. 

 Ferner werden die durch einen Punkt s", .r*', .t^, ^o, j/O durch- 

 gehenden, dem Büschel z' — y^x\ — y\^\=^ gehörigen Richtungen 

 durch die Gruppe möglichst allgemein transformiert. Die Gruppen 

 mit diesen Eigenschaften hat LiE in i?„ bestimmt.-) Die Gruppen 

 in i?3 sind die Folgenden: Eine 21-gliedrige, die hier nicht in 

 Betracht kommt, da sie primitiv ist; eine 15- und eine 1(3- 

 gliedrige Gruppe, die mit den beiden Folgenden ähnlich sind: 



YII. 



1, .q, .Vo, j/i, j/2, .^■^, x^x.-^, .t;2, x^y^ 



^i3/2' '^2^^ '^'2^2' y\^ yiyi^ y\ 







1, 



X^ 



A'2 , 



.yi' 



Vi^ 



z — 



a^ii/i - 



-\x 



lyi 





v'lll. 



-r' 



XyC^^ 



2' 



^iVx 



, X 



1^2. 



^23/1 



, X,t}fii 



y\^ 



y\y^-< 



y\\ 



') >Bestimmnng aller Untergruppen der projektiven Gruppe des linearen 

 Complexes.> Archiv for Math, og Naturvid. 15. 

 ^) Transformationsgruppen IL S. 461. 



