336 OSEEN, UEBER EINIGE BERÜHRüNaSTRANSEORMATIONSaRUPPEN. 



Gliederzahl ist gleich der der zugehörigen Gruppe g. Eine 

 Gruppe der letzeren Klasse ist immer Untergruppe einer Gruppe 

 der ersten Klasse. Ich betrachte daher zunächst nur die Grup- 

 pen der ersten Klasse. Ihre Gliederzahlen sind entweder 8 

 oder 9. 



Ich werde jetzt so hervorgehen, dass ich zuerst zwei Grup- 

 pen mit allen verlangten Eigenschaften aufstelle und nachher 

 zeige, dass jede Gruppe mit den verlangten Eigenschaften mit 

 einer dieser Beiden durch eine B. T. ähnlich sein muss. 



Die erwähnten Gruppen sind 



IX. 



i, i'Pj , X21 "Uli 'I/21 "^2^1 "^j' "^'lyi ■^" "'^2^2' 



und ihre invariante Untergruppe 



X. 



1, ^1, w^, 7/i, ?yo, Ä?2?/, — ^-cj, .^■l?/l + dx^y^, Sx^^/^ + ?/2, 



a) 



und 



Die verkürzten Gruppen der Gruppen IX und X sind 



(?n ^2' Pn P2' ''^'2Pi —yi92 + 2a'i(?i, x^p^ ~tj^q^ + 

 + ^{^'2?- — ^2^2) : 3(.^'lP2 — y29\) + 2i/iPi , 



l. /?!' 52) Pn P2> ^''-'2lh—y\<li + 2.^'i<Zi' ''^'li^i — .Vl^l + 



\ + 3(.r2i72 — ^2^2) ) 3(^'iP2 — ^2?i) + 2^1 Pi 

 wo 



0-, = ^ etc. 



Die Gruppe a hat, wie man leicht findet, zwei invariante 

 Untergruppen, nämlich h und 



^M '?2> Pn P2- 

 Die Gruppe A hat dagegen nur eine invariante Untergruppe: 



5i' ^2) /'n P2- 

 Die Richtungsgruppe der Gruppen a und b ist: 



