342 OSEEN, UEBER EINIGE BERÜHRüNGSTRANSFOßMATIONSGRUPPEN. 



zuerst, dass es keine Gruppen von der zweiten Klasse geben kann. 

 Ferner sind die Gruppen VII, VIII, IX und X sämuitlich 

 irreducibel. Wären sie nämlich reducibel, so müssten die Rich- 

 tungsgruppen ihrer verkürzten Gruppen eine invariante Gerade 

 haben, was nicht der Fall ist. 



Endlich soll noch untersucht werden, ob die Gruppen I, IV, 

 VII, VIII, IX und X dem von Herrn Scheffees behandelten 

 Falle angehören, ob es also eine Schar von Gleichungen 



d) 0{z, .t'j, .^2, ?/i, ^2) = coust. 



giebt, die bei einer der erwähnten Gruppen invariant bleibt. Ich 

 betrachte zuerst die Gruppen I, IV, VII und VIII. Sie ent- 

 halten alle die Untergruppe 1, x^, y-^, x^ , x^y^^ y'^ . rf) muss 

 also diese Gruppe gestatten. Also muss die Schar von Gleich- 

 ungen 



0{z, x^, x^, ?/i, y\) = const., 

 wo x^ und y^ beliebige Constanten sind, die genannte 6-gliedrige 

 Gruppe, als Gruppe von B, T. in der Ebene 2;, ä^j , aufgefasst, ge- 

 statten. Eine solche invariante Schar giebt es doch nicht. Also 

 folgt, dass (D nicht z, x^ und ?/, enthalten kann. Ebenso findet man, 

 dass O nicht x.y und y^ enthalten kann. Dass auch die Gruppen 

 IX und X nicht dem von Herrn Scheffers behandelten Falle 

 angehören, kann man in folgender Weise einsehen. Die Gleichung 

 d) stellt eine einfach unendliche Schar von Flächen in dem 5- 

 dimensionalen Räume dar. Einem beliebigen Punkte z^^x'^^x^^, 

 ?y°, ?/^ ist dadurch eine vierfach ausgedehnte, ebene Mannig- 

 faltigkeit zugeordnet, nämlich die Tangentmannigfaltigkeit der 

 hindurchgehenden Fläche. Dem Punkte ist also eine ebene Schar 

 von cx)3 Richtungen zugeordnet. Diese Schar hat mit der Schar 

 z' — y^ x\ — y^^ x'2 = 



eine zweifach ausgedehnte, ebene Mannigfaltigkeit gemeinsam. 

 Diese Ebene muss offenbar bei der Richtungsgruppe der Gruppe 

 a (oder b) invariant bleiben. Aber wir wissen, dass die erwähnte 

 Gruppe keine invariante Ebene hat. 



