406 VON KOCH, THÉORÉMBS SÜR LES FONCTIONS ENTIÉRES. 



Theoreme 1. Si wie fonction entiere 



(1) f{x) = c,) + Cja-' + Coc-r- + . . . 

 est teile que la serie 



(2) ^Ac;^-^ 



converge pour toute valeur de x ^) on ne peut pas avoir 



(3) lim f{x) ^ 



sans que f{x) se reduise identiquetnent ä zéro. 

 En effet, supposons d'abord 



(4) co±0. 



Dans l'expression (1), mettons a;^' å la place de w] nous 



aurons 



+«> 



Multiplions cette égalité par CyWf^^, f.i étant un entier 

 positif quelconque et faisons la somme de toutes les égalités 

 obtenues en prenant successivement 



^^-0, 1, 2, ... + CO. 



La serie (2) étant, d'apres l'hypothese faite, absolument 

 convergente qiiel que soit x^ il est facile de voir que la serie 

 double 



+ CO +00 



,/=o ;.=o 



converge absolument quel que soit x. En effet, ceci est evident 

 pour < I .r I < 1 ; pour j « ( > 1 on a 



d'oü 



') D'apres un théorétne bien connii, cette hypothese peut s'exprimer en écri- 

 1 

 vant: lim | cp | ^-^ = 0. 



A --= + M 



