408 VON KOCH, THÉORÉMES SUR LES FONCTIONS ENTIÉRES. 



pour 



/^t = 1, 2, 3, . . . . 



Comme on a Oq^O /(l) ne peut pas étre nul; en eflfet, 

 l'hypothese /(l) = combinée avec la formule (5) (pour ^ = 1) 

 donnerait = c^ . Pour /.i = 1 la formule (5) donne donc 



Pour une valeur quelconque de f.i, la méme formule montre 

 que 



d'oü 



Ca = ^^ ■ «0 ; (A* = 1, 2, 3, . . .) 



d'oü resulta que ^c^x^^ ne peut étre une fonction entiere que si 



K=0. 



Or, dans ce cas, Cq serait le seul coefficient non-nul, ce qui 

 est impossible a cause de Thypothése (3). 

 Supposons maintenant 



tj^j = Ci = . . . = c^. _ 1 = ; Ci ^ 



et posons 



fix) 



(p{x) --== •— ^ = Ci- + Ck + iX + Ck^'iX"- + . . . . 



Sur cette fonction nous pouvons raisonner comme tout-a- 

 l'heure sur f{x)\ en effet, la serie (2) étant une fonction entiere 

 de .^', il en est de méme de la serie 



et l'hypothese (3) faite sur f(a;) entraine la formule 



lim (fix) == . 



Par conséquent, en appliquant le resultat de tout-a-rheure, 

 nous voyons que l'hypothese c^ =t= O est impossible quel que 

 soit k, c. q. f. d. 



