ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, N:0 6. 409 



Le théoreme ainsi démontré met en évidence un fait qui 

 nous parait assez curieux. En se proposant de déterminer les 

 coefficients c^, Cj, c,, ... de teile maniere que la fonction 



/(a-) = Cq + Cioc + c.-^x"- + . . . 



satisfasse a la condition 



lim f{x) = O 



on tombe sur une limite inférieure pour | ei \ ou plutöt pour la 

 rapidité avec laquelle \ci\ tend vers zéro: si cette quantité 

 décroit plus vite que Cx, Ci étant tel que la serie iCix^'' est 

 toujours convérgente, la condition (3) est impossible a remplir. 



Théoreme 2. Si une fonction entiere 



f{x) = 6'„ + C-^X + C^X- + . . . 



est teile que la serie 



+ 00 



converge pour taute valeur de x on ne peut pas avoir 

 (6) lim -^^ = O , 



k désignant un entier positif donné, sans que f(x) se réduise å 

 un polynöme de degré k — 1 au plus. 

 En effet, si Ton pose 



f(^x) = Cq + c^x + . . . + 6'i._i^*-i + x^(f.(x) 



la formule (6) entraine la suivante 



lim q{x) = O 



d'oü résulte, d'apres théoreme 1, que (f{x) est nul identiquement. 

 Remarque. On voit imraédiatement que le théoreme 1 reste 

 vrai si Ton remplace la condition (3) par la formule un peu 

 plus generale: 



lim f{xe'v) = O 



