410 VON KOCH, THÉOKÉMES SUR LES FUNCTIONS ENTIÉRES. 



r/) désignant un angle donné quelconque. De méme, le théoréme 

 2 subsiste si dans la formule (6) on remplace x par xé^P . 



Théoréme 3. Si une fonction entiere 



f{x) = 6'o + Cj^ + c^x- + . . . 



est teile que la serie 



;.=o 

 converge pour toute valeur de x^ on ne peut pas avoir 

 (7) lim /(«")- O, 



« désignant un no7nbre j)Ositif assujetti seulement ä la condition 



a > 1 



et v parcourrayit la suite des nomhres entiers p>ositifs, sans 

 que f{x) se réduise identiquement ä zéro. 



En efFet, dans Tidentité démontrée plus haut: 



(8) l'^^-^^l'Kfi-'-") 



nous måttons x =^ a'' ce qui donne 



2=0 ""^ ;.=o 



Pour trouver la valeur a laquelle tend chaque menibre de 

 cette égalité quand v augmente vers l'infini en prenant succes- 

 sivement les valeurs 



(9) 1^ = 1,2,3,... 



il suffit de mettre dans chaque terme v = co. En efFet, d'apres 

 l'hypothese (7) on a, pour toutes les vaieurs (9) et pour toutes 

 les valeurs 



A = 0, 1, 2, 3, ... 



|-S5|<^' |/(«(^-/^)")|<A^ 



K désignant un nombre ne dépendant que de a et de f.i. 



