412 VON KOCH, THÉORÉMES SUR LES FONCTIONS ENTIÉRES. 



fonction adjointe de la fonction donnée 



OO 



2 = 



et nous pouvons alors énoncer ce théoreme: 



Etant donnée une fonction entiere f{x) dont Vadjointe est 

 une fonction entiere, si on se donne un nomhre positif a > 1 

 et un nomhre positif quelconque K, Vinégalité 



est vérifiée pour une infinite de nomhres entiers et positif s v. 

 En efFet, si Ton avait 



\f(ar)\<K 



pour V > v', v' étant suffisamment grand, on aurait 



j/=oo et 



Par suite, en vertu du théoreme 4, f{x) se réduirait å une 

 constante. 



Pour avoir une autre application, nous remarquons que, si 

 une fonction entiere 



CO 



j' = 



satisfait a la condition 



lim f{x) = 



./■=+oo 



son adjointe ne peut pas étre une fonction entiere, c'est-a-dire 

 la serie 



^ cix^^'^ 



1 = 



est nécessairement divergente pour des valeurs suffissamment 

 grandes de x. 



Considérons une fonction entiere f{x) dont la partie reelle 

 tend vers + oo pour x = + co. Teile est, par exemple, chaque 

 fonction entiere a coefficients positifs. Alors la fonction 

 (12) e-J'^-'-^ 



