416 PETRINI, ORDRE DE CONVERGENCE ET DIVERGENCE. 



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Dans le premier cas nous supposons ^ -^ = co et dans le 

 deuxierae cas lim iV„iü„ = co. ^) L'equation (2) donue 



NnWn 



(3) Sn = -^^-^ (1 + fi«) , lim €„ = . 



'l' 71 = CO 



§ 2. Si nous ne réussissons pas å déterminer iV,; de nia- 

 niere que lim In est fini et =j= 0, nous pourrons trouver xV„ teile 



n = (X) 



que lim /„ devient infinie. Choisissons N^ de cette raaniere et 



posons 



\W ji — W-nKn 



I 10 n 



En éliniinant iV,,+i -^— entre les équations (1) et (4) nous 

 trouverons 



(5) NA~-^\^l-^^Qn 



\^n ^n + ll ^■'71 + 1 



m — 1 m — l 



'■' ^ 'W ~ ?' i W ~ ^ IT ~ ^^^ quantité å limite 



CO -. 



finie, q' étant une valeur moyenne de ^,.. Si ^^-f^r '= °° i^ 



v = \ ' ' 



faut donc que lim q' = 0. Si Qn guarde toujours le nieme signe 



m = oo 



nous aurons lim q^ = 



« = co 



(6) •.• lim /^ = 1 . 



n = co ^n + 1 



Nous pourrons donc énoncer le théoréme suivant: 



00 -. 



Theoreme. Soient lo'n > 0, Nn > 0, ^ -^ = oo 



2' _ /Vr AT" ^"+^ 



'i' n — -L^ n — -'Vn + i — ; — 



et lim NnW'n — °° pour le cas oü ^ ?r',. = oo . 



') Cfr p. e. Henrik Petrini: >Con.sidérations générales sur la convergence 

 et la divergence des series ä termes positifs.» Ofvers. K. V. Akad., Sthlm 1900, 

 p. 904—5. 



