438 HOLMGREN, ÜNE CLASSE d'EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 



JVous allons déniontrer quil ne jyeut exister une autre inte- 

 grale u^ assujettée aiuv mémes conditions que Mj (c. å d. con- 

 tinue ainsi que les dérivées des deux premiers ordres et liinitée 

 de la dite maniere dans T) prenant les mémes valeurs sur y, 

 pou7'vu que la longeur de y soit sujffisamment petite. Si F ne 



du da , . . ,, . 1 1 > ■ I 



conUent pas -w- , -^ toutes Les supposttions jaites sur Les derivées 



de u^ so7it inutiles. ^) 



On trouve immédiatement que la difFerence u = u^ — u^ 

 verifie Téquation 



(2) Ju = f[u,/-^, ^-^,x,y]-F[u,,^-^, ^^-^-'^j 



et s'annule sur y. 



Pour tirer des conclusions sur u et ses dérivées nous nous 

 servirons du théoréme suivant, 2) 



Si dans F la fonction f{x, y) ainsi que ses dérivées -^ , 



-^ sont continues et dans {y + F) |/(.*', ?/) | < /^, Tintégrale u 



de réquation 



z/m = f{x , y) 



s'annulant sur y, est déterniinée par la formule 



(3) 



u = — 



^ I I K^ ' '^)<^(^ » y , § > 'i\)d:^dr^ , 



2 



f 



0Ü G{x, y, §, 7]) est la fonction de Green correspondante au 

 doraaine F et au point .v, y. Cette integrale admet des dérivées 

 premiéres continues dans {y + F ) et les inégalités 



(4) 



du 

 dx 



<IF 



^) Notre demonstration est sans modification essentielle applicable dans le 



cas oii la longeur de y est arbitraire, supposé que la surface enfermce P soit, 



Huffisamment petite (c. f.: Picaud, Journal de math. 1896). — Si i^ est linéaire 



du du . ,. , ,. . . , du hu . 



dans u. - , — on voit irumediateinent nu une limitation de u, .^ , — est inutile. 

 ' dx' dy dx dy 



*) Voir: Picaku, Journal de niatb. 190(). c. f. aussi Paraf, These, Paris 

 1892 p. 34. 



