■ÖFVERSIGT AF K. VBTENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, NIO 6. 439 



sont verifiées, ou X est une constante dépendant seulement du 

 contour y et tendant vers zéro quand la longueur de y devient 

 infiniment petite. 



Appliquons ce théoréme å Téquation (2). Nous aurons ici 

 å reniplacer /(^, y) par 



fL ^ ^ X v\-F[u ^^ ^-^ X v\ 1) 



Pour avoir une limite supérieure de 



rr'' dr dri' ^' ^j r-' d^ d^i' ^' ^ 



nous nous servirons de Tinégalité 



I F{u' , v' , lo' , X, y) — F{u" , v" , lo" , x, y)\< 



<ik{\u' — 11" \ + \v' — ■"" I + I w' — ■«^" 1) 



ou k est une constante, qui est verifiée quand (u', v', lo', x, y). 



et (?/", v'\ w", X, y) appartiennent au domaine T. Soient f.i, (.i' , (x" 



les maxima absolus de \u\, 

 aurons donc 



du I 



IxV 



dans (j + r). Nous 



Les inégalités (4) nous donnent maintenant 

 f.1 < lk{i.i + f.t' + f.i") 

 f.i' < lk{f.i + f.i' + f.i") 

 ju" < lk{/_i + f.i' + f-i") .') 

 Supposons que la longueur de y soit assez petite pour que 

 Ik <i\. Les inégalités donnent donc par addition la contra- 

 diction 



;lt + jU' + jU" < ^ + f,l + (.l". 



De la résulte que Uy^u,. Le théoréme énoncé est ainsi 

 démontré. 



^) Si F ne contient pas -— , -- Texistence et la continuité des dérivées 

 ox dy 



premiéres de F{u^) — F{u^) se démontré par la formule (3). 

 inégalités 



) Si F ne contient pas — , — , nous n avons besom que de la premiere des 



dx oy 



