440 HOLMGKEN, UNE CLASSE d'EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, 



II. 



Dans ce paragraphe nous allons établir un théoréme sur la 

 convergence uniforme des series, qui est d'une certaine inipor- 

 tance dans diverses questions de convergence dans la théorie de& 

 équations différentielles et aux dérivées partielles. (Dans le n"^ 

 III nous en donnons une application simple). 



Considérons la serie 



(1) /i(^) + /2G^) + ...+/.(^) + ... 



oii les fonctions /i(^), f-^ioc)., ■ ■ ■ , fviß), • • • sont continues dans 

 l'intervalle a<.x <b et admettent des dérivées jusqu'a l'ordre 

 n inclus. 



Nous supposons que cette serie converge en tous les points 

 rationels de ce domaine et de plus qu'il existe un nombre (? 

 indépendent de a; tel que 



(2) \A^U + /M + ---+fM\<G 



pour chaque valeur de l'indice r. 

 Cela pose les series 



(3) A%) + ffU + ...+ fM + . . . \fT{^) = fÅ^)\ 



Ä; = o, 1, 2, . . . , n — 1 sont uniformément convergentes dans 

 l'intervalle (a . . . h). ^) 



Nous déraontrons d'abord ce théoréme dans le cas de 

 71 = 1.2) ^ cette fin divisons l'intervalle {a . . . b) par des points 

 rationels a;^, -f^^, •.., ^,. — iC-^i^«, Xr = h) en parties plus petites 

 que j-pi , oii o est un nombre positif aussi petit que Ton veut. 



La serie (1) étant convergent en tous les points rationels, 

 nous pouvons trouver un nombre entier positif N de sorte que 



S + p 



2 /"('^'O 



a 

 <2 



(4) 



(i = l, 2, ..., t), 

 quand « > A^ et p = 1, 2, 3, . . . . 



*) Ce théorfeme est donnc par M. E. Lindei.ök comme une géneralisation d'uu 

 théoréme de M. Bendixson. (Bulletin des sciences math. 1901). Son demon- 

 stration différe de celle donuée dans la texte. 



^) Le théoréme de M. Bendixson. (Svenska Vet. Akad. Öfversigt 1898). 



