ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, N:0 6. 443 



quand s>A^. Par suite 



s+p 



2/?^) < ^' Pour s>N et p = 1, 2, 3, . . .. 



La convergence des series (3) au point rationel arbitraire w est 

 ainsi établie. 



La convergence uniforme se démontre par 1'application suc- 

 cessive du théoreme dans le cas déja démontre {n = 1). D'abord 

 on rétablit par cette application pour la derniére des series (3); 

 de la on la conclue pour la serie précédente en se rappelant, qu'il 

 existe un nombre G' tel que {/['"Xv) + ... + fl!'~\a;)\< G' 

 pour toutes valeurs de ?' et a;. En continuant cette procédé on 

 parvient ä démontrer la convergence uniforme de toutés les 

 series (3). 



Le théoreme énoncé et son demonstration s'etendent fa- 

 cilement au cas de plusieurs variables. 



Dans le cas de deux variables, il prend la forme suivante: 



Supposons que la serie 



f\{^^ y) + /2(-^> y) + •'■ + fv{x, y) ^ ■■• 



ou fi{oc, y). . , . , fv{x, 3/), ... sont des fonctions continues dans 



X 



Vintervalle a < ■< 5 admettant des dérivées iusquä Vordre n 



indus soit convergente p>our chaque systhne de valeurs rationels 

 des variables et de p>lus quil existe un nombre G tel que pour 

 chaque valeur de r on ait 



d'-'Kfxi^ .y) . d^'-'.a^ , y) . , d'^-'frix , y) 



^ n ^- n 7. "i • • • I 



dx'^dy^ dx^dy^ ' ' ' dx'^dy^ 



quand i + k ^ n, quels que soient x et y. 

 Les series 



d^'-'Ai^ , y) ^ d^^'Ai^ , y) ^ _ _ ^ d^^'/^'^ , y) ^ 



dx^dy^ dx'^dy^ ' ' ' dx^dy^ 



i + k == n — 1 



convergent uniformément dans le domaine a < ^ ^ • 



<G, 



