444 HOLMGREN, ÜNE CLASSE d'EQüATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 



III. 



Soit donnée Téquation 



(1) -lu = F{u , X , y) , 



ou F est une fonction positive continue, croissante en méme 

 temps que v et admettant des dérivées premiéres continues. M, 

 PiCARD a appliqué la raéthode des approximations successives a 

 cette équation. *) Nous allons ajouter un reraarque å l'analyse 

 de M. PiCARD. A cette fin reprenons- la succinctement. 



Soit y un contour fermé simple réguliereraent analytique 

 renferjnant le domaine F. 



Considérons le systeme 



Ju^ = i^(0 , X , y) 

 Ju^ = F{u-^ , X , y) 



JUn = F{Un-\ , X , y) 



et intégrous successivement les équations avec la valeur nulle 

 sur le contour y (on peut aussi prendre des valeurs arbitraires 

 continues sur y). 



La formule (3) p. 438 nous donne 



(2) ^i„ = — — I j F{u„ _ 1 , ^ , 'ri)G{x , .y , ^ , t])d'^dri . 



T 

 De cette formule on conclut facilement en se rappelant les hy- 

 potheses faites sur F que 



Wi < ?/3 < ?<5 < . . . < U^n _ 1 < . . . 



u-i > "4 > "e > • • • > "2/1 > . . . . 

 et ?.«2w — 1 < M2n- Ainsi les u a indices impair ont une limite u, 

 les u a indices pair une autre limite v. Entré ces limites existe 

 la relation 



') Journal de innthématiques 1890, Bulletin de la société math. 1900. 



