446 HOLMGREN, ÜNE CLASSE d'EQÜATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 



IV. 



Nous allons examiner Téquatioii 



(1) Ju = F(ii , x , y) 



dans le cas ou F{u^ x, y) est une fonction analytique de u, x, 

 y. Nous ferons voir que dans ce cas toutes les integrales de 

 (1), qui sont continues ainsi que les dérivées des deux premiers 

 ordres sont analytiques. 



Soit u une integrale arbitraire de (1), qui est continue 

 dans un certain doraaine ainsi que les dérivées des deux pre- 

 miers ordres. Dans ce domaine décrivons autour d'uu point 

 arbitrairement choisi — que nous prenons corarae origine — 

 un cercle F de rayon aussi petit que Ton veut. Sur ce cercle 

 la fonction u prend des valeurs, qui définissent une fonction 

 continue de l'arc adraettant des dérivées continues des deux 

 premiers ordres. Par la méthode appliquée par M. PiCARD aux 

 équations linéaires •) nous allons former une integrale analytique 

 de (1) qui prend ces valeurs sur le cercle. Le théoréme du § I 

 fait voir que cette integrale coincide nécessairement avec u (si 

 r est choisi sufßsamment petit). Alors il est démontré que la 

 fonction u est analytique. 



Nous citons d'abord quelques théorémes connus sur les se- 

 ries trigonométriques, dont nous avons besoin pour ce qui suit. 



Soit 



00 



(2) /(-^ , y) = 2 (s»-^" + «1«- 1^"~ '^ + • • • + %^y") 



M = 



une serie de puissances, qui converge quand \x\, |z/|<P. 

 Considérons des valeurs reelles des variables et posons 

 X =^ r cos d, y =^ f sin ii. Nous aurons donc 



00 



(3) f{x, y)=2^"(aoH cos» ,9 -(-%„_ 1 cos"- 1 ^ sin d--\-. . .-^-an^ sin» d-). 



') Journal de Técole polyt. 1890; voir auesi Picard, Comptes rendus 1900 

 et Pakaf, 1. c. p. 72. 



