448 HOLMGREN, UNE CL ASSE d'EQUATIONS AÜX DÉRIVÉES PARTIELLES. 



Nous allons démontrer maintenant que la serie (4) est ab- 

 solument convergente quand r <^ P, d'oü il suit qu'elle réprésente 

 f{x, y) parce que le passage de (3) a (4) est justifié. 



Nous avons 



n 

 p = 



et ainsi 



<5) [/!• <ho,o| + 22^-(2'^ + 3)2|a.n-.|. 



La serie (4) est donc absolument convergente quand r<P. 

 Remarquons qu'il résulte de l'inegalite (5) que Ton a 



<6)[/]p/6<2(I«o«||a-|" + |ain-i||^'h-M3/|+---+l««o||yh) 



w = 



Oll j .-c j = I ?/ j = i^ — (7, a étant suf'fisamment petite. 



Chaque serie de puissances (2) peut ainsi s'ecrire sous la 

 forme (4). 



Inversement chaque serie absolument convergente de la forme 

 (4) peut s'ecrire comme une serie de puissances. 



En effet on peut arranger les termes de (4) de fagon a la 

 rendre identique a une teile serie. ^) 



Dans la suite nous devons considérer les développements en 

 serie trigonométrique des fonctions 



CO 



n = /, TO, n 



n / N ^(^1 V, '<) — F(cV, y, v) -^ ,, 



i^,(^, y, U, v) = 7^ — z; "" 2i ^^"'' ""'""" = 



m, n 



I, m, 71, r 



oix les series de puissances sont convergentes quand l^rj, |y|<^ 

 quelles que soient les valeurs de n et v. (Pour simplifier nous 



') c. f. Pakaf p. 73. 



