ÖFVERSIGT AF K. VBTENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, N:0 6. 449 



faisons cette derniére hypothese). Les u et v sont ici supposées 

 étre des fonctions de a; et ?/, développables en series absolument 



convergentes de la forme (4) dans le domaine r<.R, oii i? < |- . 



Il est maintenant facile de voir que jP et i^^, sont déve- 

 loppables en series de la forme (4) absolument convergentes 

 dans le cercle r < R. Il suffit d'observer que le produit de 

 deux series absolument convergentes de la forme (4) /, et f^ 

 est une serie absolument convergente de la forme (4) et que 



Alors nous trouvons facilement (en appliquant la formule 

 (6)) que 



<7) lF{u , X , 3/)]^ <2 [««(.^- , yy] H" <^\7u M, n I ^'+™M'' 



M = I, 'fn, n 



et 



8) \F^{u , v, X, y)\R < 2 ll-^m, n{x , y)'] M™[^']« <^\ci, ™, n, v I ?'+™[w]"M'' 



ra, 71 = I, m, n, r 



Citons maintenant le lemrae de M. Picard sur lequel repose 

 la méthode de M. Picard. 2) 



Considérous Téquation différentielle 



z/m = f{x , y) = ciq + ^ (cin cos nd- + h„ sin nd-) 



71 = 1 



ou la serie est de la forme (4) absolument convergente dans le 

 cercle r<.R. L'integrale de cette équation s'annulant sur le 

 cercle de rayon r = R, est une serie absolument convergente de 

 la forme (4) 



CO 



«o + 2 (a„ cos nd- + ßn sin n3) . 





Nous aurons en désignant par «„, a„, ßn, h^, la som me 

 des modules des termes des series de puissances, «„, a«, 5„, ßn 

 pour r = R 



^) c. f. Paraf p. 63. Apiés la multiplication des series nous faisons appli- 

 ■quation de la formule cos wii?" cos «5' = l cos (m + n)S' + ^ cos (m — n)d' et des 

 formules analogues. 



^) Journal de 1'école polyt. 1. c. 

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