450 HOLMGREN, ÜNE CLASSE d'EQUATIONS AUX DÉRIVÉBS PARTIELLES, 



A7f- - VR"- - 

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ou X' est une constante purement nuiuéiique. D'ou il suit im- 

 médiatement, si nous supposons M <il 



(9) [u'JR < iRLtlR 



ou I est une quaiitité purement numérique. 



A present nous somnies en état de taire la demonstration 

 de notre théoréme sur la nature analytique des integrales de (1). 



Formons le systéme 



z/Mjj = O 



I 



I Ju„ = F{un _ 1 , A' , y) 



et cherclions snccessivement Tintégrale de ces équations qui prend 

 les raémes valeurs que u sur le cercle F au rayon R. 

 Posons 



V■^ = Mj ifj, , Üo ^^^ '*2 '-*] ' • • • 5 ^" ^^ ^^n ^M — 1 



nous aurons donc 



z/Wq=0 



Jv-^=F{u^, X, y) 



Jv^=F{u^, X, y) — F{u^, X, y)-^VyF^{u^, u^, x, y) 



JVn = F{Un-i, X, y) — F(Un-2, O!, y) = Vn- iF^{Un- 1, lln-2, *", y). 



Comme u est continue ainsi que les dérivées des deux pre- 

 miers ordres dans un domaine enveloppant F, nous concluons 

 facilement que 



[mo]ä < A* ') 

 ou f.1 est une constante qui reste la raéme pour toutes les va- 

 leurs de R. 



') c. f. PiCAHi), Traité rVaualyse t. I, p. 236. 



