452 HOLMGREN, UNE CLASSE d'EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 



La fonction U est ainsi une fonction analytique. Elle 

 prend sur la périphérie de F les mémes valeurs que ^/, et satis- 

 fait a (1) comme il suit par ditférentiation ^) de la formule fa- 

 cilément établi 



2 



r 



^JJf{U, ^^ ri)G{a', y,-^, 7i)d^d7i . 



D'apres ce qui précéde U jouit de la propriété | m | < 2^< 

 011 jtt est indépendant de i? si i? est au-dessous d'une certaine 

 liinite. Pour | te \ une teile limitation existe évidemment. Nous 

 sommes maintenant en état d'appliquer le théoréme du § I. 

 Si nous prenons M suffisarament petit, les deux fonctions u et 

 U coincident. u est ainsi une fonction analytique; notre théo- 

 réme est établi. 



V. 



Du théoréme du n° IV nous allons tirer une conséquence 

 interessante pour la théorie des surfaces a courbure constante 

 positive, a savoir: 



Toutes les surfaces å courbure constaute positive sont ana- 

 lytique s.'^) 



Supposons que 



fx = cp^{u , v) 



(1) h = cp,{u , v) 



\z = (f^{u , v) 



définissent une surface a courbure constante + 1 (sans nuire a 



la généralité, nous pouvons faire dans la demonstration de notre 



théoréme cette derniére supposition) rapportée å ses lignes de 



courbure. Soit r■^ le rayon de courbure principale correspondant 



') C. T. p. 4oö. -7—, T~ so"t iiiaes et contiuues dans (y + 1 ). 

 Cix dy ' 



c. f. LiNDEBiiRG, Thése, Helsiogfors 1900 p. 16. 



^) M. HiLBERT dans son conférence taite uu congrés de PariH 1900 dit (§ 

 19) (ju'il coiiHidfere le théoi-éme comme probable. — 



Pour Ics con.sidération8 suivantes voir: Bianchi, Vorlesungen überDiffe- 

 rentialtreoiiietrli!, Leipzig 1899. 



