ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, N:0 6. 453 



a la courbe u = const., r^ celui correspondant å t* = coiist. Soit 

 ?<Q, Vq (P) un point regulier de la surface c. a d. situé dans 

 un doraaine ou rp^, tp^, cp^ sont continues ainsi que les dérivées par- 

 tielles des trois premiers ordres, et EG — F^ > O, E, F, G 

 étant les coefficients de la premiére forme fondamentale attachée 

 å la' surface. Supposons pour fixer les idées que r■^ > 1 (et 

 ainsi r^ <^1, parce que o^o-^ = 1) en ce point. Soit S un do- 

 maine regulier de la surface autour du point P, qui soit assez 

 petit pour que r^ reste > 1 dans tout ce domaine. 



Parce que les courbes u = const., v = const. sont les lignes 

 de combure de la surface nous avons P = O et les coefficients 

 de la seconde forme fondamentale 



E G 



Entré les quautités P, G, 7\ , ?•._, existent les deux relations 

 de CoDAZZi 



(3) i (K?\ _ 1 ^? L iYE\ - 1 ^yR 



dv \ 7\ I o\ dv ' du\ r^ I r^ du 

 et celle de Gauss 

 1 

 ' ' \EG 



Introduisons la fonction auxiliaire w, défini par Tégalité 



(4) 



du\y'E du I dvyyg dv j 



= 1 



(5) 



e'" — e- 

 Les équations (3) donnent donc 



(6) y^= / , MG = ' ^^ 



et réquation (4) 



d\o d'^u) _ er- 2w — e2w 

 ^^ &u?'^W-^ 4 ■ 



La fonction to qui adraet nécessairement des dérivées par- 

 tielles des deux premiers ordres continues dans S satisfait ainsi 

 a une équation du type considéré dans le n° IV. On voit donc 

 que CO est une fonction analytique (reguliere dans S). 



