454 HOLMGREN, UNE CLASSE d'EQüATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 



Les formales (2), (5) et (6) fönt maintenant voir que les coef- 

 ficients des deux formes fondameutales E, F, G, D, D\ D" sont 

 des fonctions analytiques réguliéres dans S. E et G ne s'annulent 

 pas dans S. 



Designens par 



(8) §1 , ^1 . Cl ; b2 , % . ?2 ; b3 , -^3 ' ^'3 



les Cosinus directeurs des directions positives des tangentes des 

 courbes v et u et de la normale positive ä la surface en un 

 point arbitraire. Ces fonctions de u et v sont continues ainsi 

 que leurs dérivées partielles des deux premiers ordres dans Ä. 

 Les trois systemes de fonctions ^j , ^^, ^3; iji, iq^^ %'i ?n ?2' ?3 

 satisfont au Systeme d'equations aux différentielles totales com- 

 pletement intégrable 



I VG ()v - yE \ VE du 



1 dVE ^ . 1 dVG „ ir „ , 



"^ \/G dv ' \ yE du ' ya 3| 



' VE ' yG - 



dont tous les coefficients sont réguliers et analytiques dans S. 

 D'apres la théorie des systemes completement intégrables il 

 existe un et un seul Systeme d'integrales continues 



se réduisant pour le point u^Vq^P) aux valeurs initiales 



0(«) 0(0) o^o) , 



Les fonctions de ce Systeme sont analytiques et réguliéres 

 dans un certain domaine entourant le point P. En appliquant 

 ce théorcme nous voyons que les fonctions (8) sont des fonctions 

 analytiques réguliéres dans le domain du point P. 



La surface S, qui est déterniinée par les formules 



^) C. f. BlANCHI 1. C. 



