ÖPVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, N:0 6. 455 



(u, v) 



X = x^ + I \S'E'S,^du^'^GlJLv\ 



("0. «"o) 

 («o."o) 



(«Oj '"o) 



«u .^?(,, ?/„, 2^0 désignent les coordonnées du point P est ainsi 

 analytique. Notre tliéoreme est ainsi démontré. 



En ce lieu je veux remarquer Ve.Tistence des surfaces ä 

 ■courbure constante negative non ancdytiques. Ce fait presque 

 evident peut se démontrer de la maniere suivante. 



On peut d'abord réduire la question ä démontrer l'existence 

 d'integrales non-analytiques de Téquation 



(9) TT-^ = sin z . 



oxoy 



Car supposons qu'il existe une Solution non analytique de 

 (9). Considérons l'expression 



(10) du^ + 2 cos zdudv + dv- . 



L'on peut trouver une surface S, qui admet (10) corame 

 element linéaire et sur laquelle u = const., v = const. sont les 

 lignes asymptotiques et z l'angle entré elles au point u, v. En 

 effet on peut déterminer D et D" de maniere que les équations 

 de CoDAZZl sont verifiées (l'equation de Gauss est verifiée 

 parce que z satisfait å (9)). Cette surface a courbure constante 

 — 1 n'est évidamment pas analytique. 



Ainsi nous avons donc å établir l'existence d'une integrale 

 non-analytique de (9). 



A cette fin donnons pour x^=0 une fonction continue ainsi que 

 ^'{y)i ¥'iy)^ ¥"{y) ^^"s l'intervalle 0<?/<a mais ayant la dé- 

 rivée qP^iy) discontinue dans tout Intervalle de (O ... a) pris aussi 

 petit que l'on veut. Pour ?/=0 donnons une fonction ipix) continue 



