456 HOLMGREN, UNE CLASSE d'EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, 



ainsi que ip'{^\ (p"(^), ^"'{^) si O <.x<b {(f)(0) = ^(0)). M. 

 PiCARD a déniontré par la raéthode des approximations successives 

 l'existence d'une integrale de (9) continue ainsi que les dérivées 

 des trois premiers ordres dans le rectangle O <?/<«, 0<^<6 

 et qui se réduit pour ^ = O a la fonction ^(y) et pour y = O 

 å la fonction U>(w). ^) Gette integrale n'est pas analytique, 

 Supposons en elFet qu'elle le soit dans un domaine de F. Soit 

 .1', z/, un point de ce domaine et supposons que y^ soit une 



valeur pour laquelle qP{y) est discontinue. La dérivée ^-^ est 

 donnée par la formule 



d^z i d \ dz] , , 



Les fonctions ^r^ et \ -^ Ico^z -:r\dx ont des derivees coutinues- 

 d]f J dij\ dy] 

 o 



par rapport a y, mais (p"'{y) a par Hypothese une dérivée dis- 

 continue au point y = y^- Gette contradiction entraine que z ne 

 peut pas étre analytique au point x, z/, . Mais de tels points 

 existent dans tout domaine de F aussi petit qu'il soit choisi. 

 z ne peut donc étre analytique en aucun point de F. 



^) Note I dans le quatriéme volnme de la Theorie des surfaces de M, 

 Darboux. 



