544 WIMAN, UEBER DURCH RADICALE AUFLÖSBARE GLEICHUNGEN. 



In letzterer Zeit ist es uns gelungen, aus Radicalen zusam- 

 mengesetzte Ausdrücke von allgemeiner Form aufzufinden, welche 

 Wurzeln einer primitiven metacyklischen Gleichung von einem 

 beliebigen Primzahlpotenzgrade darstellen. Diese Resultate wollen 

 wir hier für den Fall, dass die Gradzahl eine Potenz von 2 ist, 

 mitteilen. In diesem Falle gestalten sich nämlich die Verhält- 

 nisse einfacher als im allgemeinen Falle. Ist nämlich die Grad- 

 zahl p™, so erscheint es, falls p eine ungerade Primzahl dar- 

 stellt, zweckmässig, wenn auch nicht durchaus nötig, ^) Fallunter- 

 scheidungen nach den verschiedenen Unterkörpern einzuführen, 

 welche der Körper der p:ten Einheitswurzeln und der durch die 

 Wurzeln der Gleichung definierte Körper gemein haben können. 



Bekanntlich erhält man die Wurzeln einer Gleichung 4. 

 Grades in der Gestalt 



(1) a + Vw, + Vm2 + V^3 5 



wo a rational ist, und Wj, Mo, m, die Wurzeln einer Gleichung 

 3. Grades bezeichnen. Der Ausdruck (1) nimmt aber 8 ver- 

 schiedene Werte an, so dass eine neue Bedingung 



nötig ist, wo b eine neue rationale Zahl bedeutet. Setzt man 



b b b 



Vj = — ; ^2 — ~ 5 ^3 — — ) 



tC-t W<> Wo 



so sind auch v^, v^, v^ die Wurzeln einer Gleichung 3. Grades, 

 und der Ausdruck (1) geht in den folgenden über 



(!') a + V'v^y'v.^ + \'v,]/v^ + ]/v^yv^ , 



welcher nur 4 verschiedene Werte annimmt, wenn die darin vor- 

 kommenden Quadratwurzeln auf alle möglichen Arten gewählt 

 werden; 2) zudem können die Vi Wurzeln einer völlig beliebigen 



^) Für den Fall eines Primzahlgrades hat Weber (Algebra I, p. 69J) be- 

 wiesen, dass die Gültigkeit des erhaltenen allgemeinen Ausdrucks für die Wurzeln 

 an keinen beschränkenden Voraussetzungen gebunden ist. 



2) Man sehe Weber, Algebra 11, p. 387—389. Nach einer Angabe dort- 

 selbst findet man diese Form für die Wurzeln der Gleichungen 4. Grades zuerst 

 bei BuKNSiDE und Panton, Theory of equations (2. edition 1886). 



