ÖFVERSIGT AF K. VBTENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, N:0 7. 545 



■Gleichung 3. Grades sein, so dass z. B. nicht, wie bei den i«,-, 

 ihr Product ein vollkommenes Quadrat zu sein braucht. 



Handelt es sich nun um das allgemeinere Problem der pri- 

 mitiven metacyklischen Gleichungen vom Grade 2"\ so lässt sich 

 auch hier ohne Schwierigkeit erweisen,- dass die Wurzeln sich in 

 der Gestalt 



(2) a + 2 y^^'^ 



A = l 



darstellen lassen müssen, wo die u^ die Wurzeln einer gewisseo 

 Gleichung vom Grade 2™ — 1 bezeichnen. Wählt man in (2) 

 die Quadratwurzeln auf alle möglichen Weisen, so bekommt man 

 offenbar 2^'"^"^ verschiedene Werte. Es gelten aber Bedingungen, 

 durch welche die Vorzeichen der Radicale Vu^ von einander ab- 

 liängig werden, so dass unter der obigen Anzahl von Werten 

 nur 2™ zulässig sind. Nach aller Wahrscheinlichkeit muss es 

 aber möglich sein, (2) in einen solchen Ausdruck umzuformen, 

 welcher keine überflüssigen Werte liefert. Wie diese Umformung 

 aus den gegebenen Voraussetzungen des Problems zu bewerk- 

 stelligen ist, hoffen wir an einem anderen Orte darlegen zu 

 können. Hier wollen wir direct einen fertigen Ausdruck von 

 der gesuchten Art aufschreiben, welcher vermutlich auch die 

 nötige Allgemeinheit besitzt; doch müssen war gestehen, dass 

 wir hierfür einen völlig strengen Beweis noch nicht liefern 

 können. 



Um das obige Ziel zu erreichen, geben wir den u^: Aus- 

 drücke vermittelst 2™ — 1 neuer Grössen v^, zo ^ » wo die In- 

 dices z-y, z^, ■ . ■ Zm oder 1 bedeuten, und nur die einzige Com- 

 bination 0, =^ z^ = . ■ . = Zm = ausgeschlossen wird. Dasselbe 

 soll bezüglich der Indices t^, U, ... tm gelten, so dass man eben- 

 falls 2™ — 1 verschiedene Combinationen t^, t^, ...t,n bekommt. 

 Jeder einzelnen Combination t^, U, ■■•tm seien sämmtliche Sy- 

 steme 2;j, 0,' ■ • • Zm zugeordnet, welche der Congruenz 



(3) tyZy + Uz., + . . . + tmz^-^l (mod. 2) 



