546 WIMAN, UEBER DURCH RADTCALE AUFLÖSBARE GLEICHUNGEN. 



Genüge leisten. Man ersieht sofort, dass jede solche Congruenz 

 2m — 1 Lösungen besitzt; eben so viele Lösungen hat ja die an- 

 dere Congruenz, welche aus (3) entsteht, wenn rechts 1 durch 

 ersetzt wird, falls man den Fall, wo alle Zi = 0, mitrechnet. 

 Der Ausdruck für d>ie Wurzeln einer primitiven metacykli- 

 schen Gleichung vom Grade 2"^, welchen wir hier geben wollen^ 

 ist von der folgenden Gestalt: 



Die Summation wird hier über die 2"* — 1 verschiedenen möglichen 

 Combinationen t^^, t^, ...tm erstreckt, und das zu jeder solchen 

 Combination gehörige Productzeichen umfasst die 2"*~i Lösungen 

 in 0j, ^2? • • • ^mj welche der zugehörigen Congruenz (3) genügen. 

 F^,i2,...t soll als eine rationale symmetrische Funktion der 

 2m — 1 Grössen v betrachtet werden, deren Quadratwurzeln unter 

 dem zugehörigen Productzeichen stehen. Die Grössen v, und 

 folglich auch die Funktion F, lassen sich offenbar bis zu einem ge- 

 wissen Grade willkührlich wählen. Hierauf beruht, dass es Herrn 

 Weber gelungen ist, in seinen Formeln über die metacyklischen 

 Gleichungen 8. Grades die Funktion F durch eine rationale 

 Grösse A zu ersetzen; bei den Gleichungen 4. Grades ist sogar, 

 wie (1') zeigt, auch dieser Factor A überflüssig. 



Es ist leicht nachzuweisen, dass der Ausdruck (4) nur 2"^ 

 verschiedene Werte annimmt, wenn die darin vorkommenden 

 Quadratwurzeln auf alle möglichen Arten gewählt werden. Man 

 erhält nämlich aus einem Anfangswerte die übrigen durch Än- 



derung der Vorzeichen der m Radicale ^v-^^ o, ...o, V^'o, i, ...o? 



V^o, 0, ...i5 bei denen ein Index =1, die übrigen =0 sind. 

 Um diese Tatsache klarzulegen, betrachten wir drei Radicale 



Vt'«,.«,,...«^, V^/S,,^2, .../3„,, V^«,+/^,, «24-/5,, ...«^+/3„, (die Indices 

 mod. 2 genommen). Wir behaupten, dass eine Änderung des 

 Vorzeichens des zuletzt aufgeschriebenen Radicals dadurch er- 

 setzt werden kann, dass man die beiden ersteren mit den 

 entgegengesetzten Vorzeichen nimmt. Dies folgt ganz einfach 



