ÖFVERSIGT AF K, VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1 90 1 , N:0 7. 547 



daraus, dass, falls man in einer Congruenz (3) die 3 Substitu- 

 tionen Zi = Ui, ßi, «j + ßi ausführt, die Congruenz, wie einfache 

 Überlegungen zeigen, entweder durch keine oder zwei von ihnen 

 befriedigt wird. Durch wiederholte Anwendung derselben Schluss- 

 weise folgert man nun, dass ein Vorzeichenwechsel eines be- 



liebigen Radicals Vu^, ., . , bei dem etwa p Indices = 1 sind, 

 durch die gleichzeitige Änderung der Vorzeichen derjenigen q 

 von den m vorerwähnten Radicalen ersetzt werden kann, wo der 

 Index 1 die Stellen jener q Indices durchläuft. 



Jetzt nur noch einige Worte über die Gleichung vom Grade 

 2™ — 1; welche die Grössen v befriedigen sollen. Die Gruppe 

 dieser Gleichung muss von solcher Art sein, dass bei ihr die 

 verschiedenen Producte, welche in (4) eingehen, sich geschlossen 

 permutieren, oder, was hiermit äquivalent ist, dass die linearen 

 Formen, welche die linken Glieder von (3) liefern, unter ein- 

 ander vertauscht werden. Diese Bedingung wird durch die line- 

 are Gruppe L erfüllt, welche sämmtliche Substitutionen von der 

 Gestalt 



(5) Z'i = UiiZ^ + Cli^Z^ -f- . . . -I- üirnZm (« = 1, 2, . . . fll) 



enthält, bei denen die Koeffizienten ciik der Bedingung genügen, 

 dass die Substitutionsdeterminante 



D=\ (mod. 2) 



ist. Für m > 2 ist aber diese Gruppe L nicht metacyklisch. ^) 

 Die Gruppe einer primitiven Gleichung vom Grade 2"^, deren 

 Wurzeln sich in der Gestalt {4) darstellen lassen sollen, hat in 

 der Tat, ausser der Eigenschaft der Primitivität, nur eine ein- 

 zige Bedingung zu erfüllen, nämlich, dass sie eine ausgezeich- 

 nete AheVsche Untergruppe vom Grade 2"^ enthalten muss; die 

 Gleichung, loelcher die Grössen v genügen, ist dann als eine 

 Partialresolvente aufzufassen, durch deren Lösung die Gruppe 

 der Gleichung auf eben jene AheVsche G m reduziert ivird. 



^) Man sehe C. Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, 

 p. 105. 



