640 PETRINI, CONTINUITÉ ET DISCONTINUITÉ DES DÉRIVÉES ETC. 



2/r TT. 



-^"v == — ^1 I q{u)dd- — (^2 — Qi) I (^4^ I (p(^) sin ^d^ 



(12) n 



2 

 27t 

 = — f TT^, ^ (1 — 3 C0S2 w) (^2 Ql) 



(12) ~ds^=^~^(^i + ^•^) + ^^(^2 — ?i) cos2 w . 



Cojiséquence. Si par l'origine ou place un Systeme d'axes 

 de coordonnées, ces axes pourront se trouver ou toutes les trois 

 sur un niéme coté du plan de separation, posito dans la region 

 des ^j, ou deux dans cette region et une dans l'autre. Si cette 

 derniére axe fait l'angle co avec la normale on trouve dans le 

 premier cas z/F = — ^tt^, et dans le second 



(lo) z/ F = — 4:7r[^, sin- co + a, cos^ co] . 



Remargue. Si la surface de separation avait un point coni- 

 que, la dérivée selon Taxe du cone en ce point n'existe pas. En 

 effet on aura 



j (1 — 3u'^)du = u — u^ 



•.• Wfi = 27t log Y cos d-^ sin^ 3-^ (^j — ^2) • 



Le méme resultat s'obtiendra pour une direction quelconque. 



§ 4. Dérivées j^remiéres d\me couche simple. Considérons 

 maintenant une partie plane d'une couche simple. On pourra 

 distinguer beaucoup de questions de continuité ou discontinuité 

 de la dérivée du potentiel, savoir 



l:o La dérivée dans un point de la surface est eile continue 

 quand le point se meut dans la surface? 



2:o La dérivée du méme point est eile continue quand on 

 change la direction de dérivation? 



3:o La dérivée dans un point extérieur s'approclie-t-elle in- 

 définiment la dérivée du point de la surface å qui le point ex- 

 térieur s'approche indéfiniment? 



4:o La dérivée dans une point extérieur est eile continne 

 quand le point traverse la surface? 



