644 PETRINI, CONTINÜITE ET DISCONTINUITÉ DES DÉRIVÉES ETC. 



§ 5. Dérivées secondes du j'^otentiel d'une couclie. Les li- 

 mites des quantités WQ{e) sont continues sous les meines condi- 

 tions que les quantités analogues pour les dérivées secondes du 

 potentiel d'une inasse a trois dimensions. A'^ est continue si ö", 



est continue. Quant a -A^=~A^^-\ — Al , on trouve que 



Q Q ^ Q ^ 



lim— ^[ est continue, si i/;^ = 0, et que \\m - A^ est continue si 



tp^ est continue. 



Le changement brusque, qu'eprouvent ces dérivées en tran- 

 chant la surface, s'obtient si l'on efFectue les integrations. Quoi- 

 que les resultats ainsi obtenus sont assez généraux — p. e. on 

 ne suppose pas l'existence d'un plan tangent qu'au point con- 

 sidéré — les formules deviendrons trop compliquees. Nous nous 

 bornerons ici aux considérations suivantes. 



Supposons que la surface soit analytique et quelle pourra 

 se représenter aux infiniinents petits pres d'ordre supérieur par 

 réquation 



(22) z = \r,x''- + s^xy + miß 



/•j, s^, t^ étant des constantes. La normale au point xyz fait 

 avec les axes des angles dont les cosinus directeurs sont 



(23) 



ß — s^x + t-yy 



Si (7j est continue et si les quantités W le sont aussi, les limites 

 des dérivées secondes sont continues et indépendantes de la direc- 

 tion dans laquelle on s'approche de la surface. Le méme a lieu 

 pour les dénsités des dérivées premiéres. 

 g \^^ Prenons deux points 1 et 2 infiniraent pres 



2 de la surface et sur le méme coté d'elle, 



Soit 6s leur distance. Prenons les points 

 .3 et 4 sur l'autre coté de la surface et infiniment pres de 1 et 

 2 resp. Soit ?«, , u^^ n.^, u^ les valeurs d'une fonction ic dans 



