670 WIMAN, DIB WURZELN DER METACYKLISCHBN GLEICHUNGEN. 



Lösung von primitiven metacyklischen Gleichungen zurück. Geben 

 wir nun auch als Wurzeln der letzteren Gleichungen Ausdrücke 

 in der in dieser Note zu erörternden Weise, so erhalten wir aui 

 Ende Radicalausdrücke aus rationalen Grössen, welche die Wur- 

 zeln einer Gleichung von beliebiger metacyklischer Gruppe liefern 

 können. 



Die Grössen v, welche wir einführen wollen, charakterisieren 

 wir durch m Indices Zi, z^, . ■ • z^, welche unabhängig von ein- 

 ander die Zahlen 0, 1, . . . p — 1 durchlaufen, doch so, dass die 

 Combination ^^ = £;2 = . . . = z.,n = unzulässig ist. Die An- 

 zahl der Grössen r,, ,, , ist mithin w™ — 1. In ganz ent- 

 sprechender Weise sollen ^j , U, ... t^ Zahlen aus derselben 

 Reihe 0, 1, . . . p — 1 bedeuten, so dass man ebenfalls j9™ — 1 

 zulässige Coinbinationen ^, , U, ... t,n erhält. Zu jeder Combi- 

 nation der ti bestimmen wir alle Lösungen der p — 1 Congruenzen 



(1) ii^j + Uz^_ + . . . -I- t^z,n~Q (mod p) [^ = 1, 2, . . .jt?— 1]. 



Es lässt sich leicht nachweisen, dass jede solche Congruenz 

 pm — i Lösungen besitzt, oder eben so viele, wie die Congruenz, 

 welche entsteht, wenn ^ == gesetzt wird, falls die Lösung 

 z^ = z^ = . ■ . — Zm = mitgezählt wird. Hiermit haben wir 

 aus den Grössen v^^ , «2 , . . . £,„ auf j^'" — 1 Weisen p — 1 Aggre- 

 gate von je p"' — '^ Grössen herausgenommen. Die in Aussicht 

 genommene Wurzeldarstellung wird sich hinsichtlich dieser Aggre- 

 gate symmetrisch verhalten, wie jetzt ausgeführt werden soll. 



Unter der Voraussetzung, dass die Grössen v einer Gleichung 

 genügen, deren Gruppe wir späterhin näher charakterisieren 

 wollen, liefert nun der folgende Ausdruck 



(2) a -f- 2 ^u, <,,... t„, n LV«^..^2,...-J 



eine Wurzel einer primitiven metacyklischen Gleichung des 

 Grades p"^ . Die Summation wird über die jo™ — 1 zulässigen 

 Corabinationen der ti ausgedehnt, und in jedem Gliede wird die 

 Potenz p, zu welcher die r/^ Wurzel aus einer Grösse v., ., ^ 



