672 WIMAN, DIE WUEZELN DER METACYKLISCHEN aLEICHÜNGEN. 



Über die Gruppe der Gleichung, als deren Wurzeln die 

 Grössen v auftreten, ist zunächst festzusetzen, dass bei ihr die 

 pm — i Glieder der Summe (2) sich geschlossen permutieren 

 sollen, wenn man auf die Verschiedenheit der Werte, welche die 



Radicale yv annehmen können, keine Rücksicht nimmt. Die 

 Gruppe muss also durch solche Substitutionen in den zi ausge- 

 drückt werden können, bei denen die p™ — i Lösungen einer Con- 

 gruenz (1) in ein entsprechendes System übergehen. Der frag- 

 lichen Bedingung genügt die lineare Gruppe L, welche alle Sub- 

 stitutionen von der Gestalt 



(3) z'i = aiiZj + aj2^2 + • • . + aim^m p = 1, 2, ... m] 

 umfasst, bei denen die Substitionsdeterminante > 



I>=\ai/.\ = G [(7 = 1 , 2 , . . . p — 1] 



ist. In der Tat wird die durch (3) erhaltene Vertauschung der 

 Lösungssysteme der Congruenzen (1) auch durch eine Umordnung 

 der betreffenden Congruenzen bewirkt, indem man in den ti die 

 transponierte Substitution 



(4) ti = aiit\ + a.2it'^ + . . . = a„,it'm [* = 1 , 2 , ... iii] 



ausführt. Nur für m = 1 und für m = 2, p = 2, 3 ist aber 

 die allgemeine lineare Gruppe L metacyklisch. ^) Sollen nun die 

 Grössen v durch Wurzelziehen darstellbar sein, so kann in den 

 übrigen Fällen als Gruppe jener Gleichung nur eine Untergruppe 

 von L auftreten. In der Gestalt (2) lassen sich aber die Wur- 

 zeln jeder primitiven Gleichung vom Grade p™ darstellen, falls 

 die Gruppe der Gleichung eine ausgezeichnete ÄBEL'sche Gp"^ 

 enthält, ohne dass die Hülfsgieichung der Grössen v metacyklisch 

 zu sein braucht. 



^) Wir verweisen hier auf C. Jordan, Traité des substitutions et des équa- 

 tions algébriqnes (Paris 1870). Dort findet man, wie man die umfassendsten 

 iiietacylflisclien Vutergruppen von L solcher Eigenschaft bestimmen kann, dass die 

 Gleichung vom Giade p^ primitiv wird. Die (letztere) Hälfte dieser Arbeit ist 

 noch die umfassendste Monographie über die metacyklischen Gleichungen. Doch 

 handelt es sich dort fast ausschliesslich um die Gruppen der Gleichungen, nicht, 

 wie hier, um die Darstellung der Wurzeln. 



