786 MITTAG-LEFFLER, TERMS COMPLÉMENTAIRE d'uN DÉVBLOPPEMENT. 



On a encore Lim A'-'^^ = A, oü A est l'etoile principale des 



« = 



constantes F{a), F^^\a) . . . F^f^\a) . . . Cette étoile A est de méme 

 une étoile de convergence pour l'expression 



n 



Lim Lim V^ ^^^ F^f^\a) ■ {x — a)^ 

 et régalité 



n 



FA{a;) = F{a) + Lim Lim V^ ^'^-^ M«)(a) • {x — ay 



a Heu partout å 1'intérieur de A. 

 Ecrivons 



n 



(1) FC{x) = F{a) + y^ ji F^f^\a) ■ {x — a)^ + R^'^^C{x) . 



On connait des expressions difFérentes du terme complé- 

 mentaire R^'^'>C{x) qui permettent dans des cas étendus d'evaluer 

 l'approximation obtenue en s'arretant au rtiéme terrae du déve- 

 loppement. Est-il possible de généraliser ces expressions de 

 maniére å embrasser encore mon développement? Je montrerai 

 que c'est en effet ce qui a Heu au moins pour le terme complé- 

 mentaire de Caüchy. 



Soit V = f{u I a) une transformation biuniforme qui trans- 

 forrae le cercle | it | < i^ , i? > 1 en une surface finie et simple- 

 raent connexe, et supposons que les points u = 0, v = ainsi 

 que M = 1, D = 1 se correspondent. Soit encore 



f{u\l) = u. 



J'emploie la fonction génératrice /(w|a); |w| = l pour 

 former une étoile -4^"^ inscrite dans l'etoile principale A des 

 constantes F{a)F^^\a) . . . F''f^\a) ... ^'^oit A^ un domaine fini 

 quelconque situé a l'interieur de A'^"\ II existe tou jours une 

 étoile E de centre a qui embrasse X et qui est située elle- 



^) Sur la rcprénentatioa etc. Seconde note. Acta Math. Tome 24, page 200. 



