796 PHRAGMÉN, ÜBER ZERLEGUNG IN IRREDÜKTIBLE FAKTOREN. 



den Acta mathematica erscheinen soll, werde ich daher auch 

 genöthigt sein, auf die WEiERSTRASS'sche Methode zurückzukom- 

 men, insbesondere auch darum, weil ich in mehreren Punkten 

 Modifikationen und Verallgemeinerungen anbringen musste, da die 

 WEiERSTRASS'sche Darstellung principiell nur irreduktible Gebilde 

 behandelt. Im allgemeinen waren diese Modifikationen sehr leicht 

 anzubringen. 



Es sei also f{scy) ein gegebenes Polynom von zwei unab- 

 hängigen Veränderlichen x und y. Wir werden voraussetzen, 

 dass die drei Gleichungen 



f{xy) = Q, /G^^)i=0, /(^^), = 0, 

 wo f{xy\ , f{xy\ die Derivirten von f{ocy) in Beziehung auf a: 

 und y bedeuten, nur eine endliche Anzahl von gemeinsamen 

 Lösungen besitzen. Im entgegengesetzten Falle hat bekanntlich 

 f{xy) Divisoren, welche als ganze Potenzen von einfacheren ge- 

 schrieben werden können, und welche mit Hülfe der Methode 

 für die Aufsuchung des grössten gemeinschaftlichen Divisors entdeckt 

 und entfernt werden können. Die geraachte Voraussetzung be- 

 deutet also keine principielle Beschränkung. 



Ist jetzt (a, h) ein Werthepaar welches der Gleichung 

 (1) f{xy) == 



genügt, also nach der WEiERSTRASS'schen Terminologie eine 

 Stelle des durch die Gleichung (1) definirten algebraischen Ge- 

 bildes, so kann man immer die Grössen x, y durch zwei Potenz- 

 reihen in einer Hilfsgrösse t ausdrücken: 



\ x — a = tP{a^ + a^t + .. .) (a^ ^ 0) 



^^ ]y-b = t'i{b, + h,t + ...) (5o + 0) 



in der Weise, dass bei Einsetzen dieser Ausdrücke für x und y 

 die Gleichung (1) identisch befriedigt Avird. Die Grösse t kann 

 dabei so gewählt werden, dass sie sich als eine rationale Funk- 

 tion von X und y darstellen lässt. Nähert sich diese Funktion 

 dem Werthe Null, sobald die Stelle x, y des algebraischen Ge- 

 bildes sich der Stelle (a, b) nähert, so wird die ganze Umgehung 

 der Stelle (a, h) durch die Formeln (2) dargestellt. 



