ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, N:0 10. 797 



Es kann aber auch der Fall eintreten, dass die fragliche 

 rationale Funktion der Stelle {xy) nicht für alle Stellen des 

 algebraischen Gebildes, welche sich der Stelle (a, 6) nähern, be- 

 liebig klein wird. In diesem Fall inuss man mehrere solche 

 Darstellangen wie (2) einführen, um die ganze Umgebung der 

 Stelle (a, h) darzustellen. Nach der gewöhnlichen Terminologie, 

 welche jedoch von Weierstrass nicht benutzt wird, sagt man 

 in diesem Falle, es gehen mehrere Cxirvenzweige durch den 

 Funkt (a, 6). 



Diese Darstellung der Curvenzweige ist übrigens nicht völlig 

 bestimmt, sondern man kann Sinaere äquivalente Darstellungen 

 erhalten, indem man statt der Grösse t eine andere Grösse r 

 einführt, durch eine Formel 



z = c^t + c^t- + . . . , ^'] =# 



(z wird dabei eine in der Umgebung der Stelle x = a, y = h 

 eindeutige, aber natürlich nicht nothwendig eine rationale Funk- 

 tion der Stelle x, y). 



In derselben Weise kann man auch die Umgebung der un- 

 endlich entfernten Stellen darstellen. Wird z. B. x sehr gross, 



so bleibt f = — endlich, und es befriedigen die Werthe ^, y die 



Gleichung 



(3) cp{:^,y) = 



indem man, unter der Voraussetzung dass f{xy) in Bezug auf x 

 vom m:ten Grade ist, 



^(^, y) = ^"^/(|, y] 



setzt. 



Befriedigt jetzt das Werthepar ^ = 0, ?/ = ^ die Gleichung 

 (3), so können sämmtliche Stellen des algebraischen Gebildes in 

 einer gewissen Umgebung der Stelle § = 0, y = ^ durch eine 

 endliche Anzahl von Potenzreihen-Paaren 



^ = tP{a^ + a^t + . . .) 

 y-h^ti{h^ + M + •••) 



