800 PHRAGMÉN, ÜBER ZERLEGUNG IN IRREDUKTIBLE FAKTOREN. 



Man erhält offenbar, indem man die ersteren Potenzreihen 

 einsetzt, 



also 



F{xy, o^'y') = \ + W)- 



Setzt man dagegen das Paar .2; — a:' = t, y — y"=t^"{t) {y" ^y') 

 ein, so erhält man, da ja f{xy) = ist, 



also, da f{x'y') auch gleich Null ist, aber y" — y' von Null ver- 

 schieden, 



fia^yy') = 1^) , 

 und endlich 



F{a;y , x'y') = ^XO • 



Die übrigen ünendlichkeitsstellen der Funktion F{a;y, x'y) 

 sind leicht zu finden. Diese Funktion kann ja erstens nicht un- 

 endlich sein, wenn (ä*, y) beide endliche Werthe haben, und x 

 von x verschieden ist. Diejenigen Stellen des algebraischen Ge- 

 bildes für welche x = x' sind haben wir schon berücksichtigt. 

 Also kann unsere Funktion nur noch für unendlich entfernte 

 Stellen des Gebildes unendlich werden, also nur für gewisse be- 

 stimmte, von {x'y') unabhängige Stellen. Noch ein wenig näher 

 können wir diese Stellen bestimmen. Denn es ist offenbar, dass, 

 wenn zwar y unendlich wird, aber nicht x^ die Funktion /(^j/y') = 



— J J ) einen endlichen Wert behält, und also auch die Funk- 



y ~y 



tion F{xy, ^"^'y')- ^'^ Stellen, für welche x = 00 ist, sind also, 

 ausser der Stelle {sc'y'), die einzigen Stellen, wo unsere Funktion 

 unendlich werden kann. 



Bei dieser Funktion können jetzt die folgenden beiden fun- 

 damentalen Eigenschaften ohne grosse Schwierigkeit nachgewiesen 

 werden. Setzt man in das Differential 



F{xy , x'y')d.T! 



