802 PHRAGMÉN, ÜBER ZERLEGUNG IN IRRBDUKTIBLE PAKTOREN. 



für eine unbestimmte Stelle xy, negative Potenzen enthalten kann. 



Die Koefficienten der verschiedenen Potenzen von t und v 

 in den zuletzt angegebenen Entwicklungen definiren eine Reihe 

 von Funktionen, welche in der WEiERSTRASS'schen Theorie eine 

 fundamentale Rolle spielen, und für welche die Entwickelungen 

 I und II wichtige Identitäten ergeben. 



Wir brauchen für unseren nächsten Zweck nur die Koeffi- 

 cienten von T~'^ in den Entwicklungen (4) zu berücksichtigen. 

 Wir setzen, wenn (<«^y,J ein Paar von Potenzreihen bezeichnet 

 für Avelches negative Potenzen in dieser Entwicklung überhaupt 

 auftreten können: 



r 



Fi{_xy) = 





Fi{xy) hat die Form eines Polynoms in y, vom Grade n — 1^ 

 deren Koefficienten in x rational sind. 



Die einzige Eigenschaft dieser Funktionen, welche wir eigent- 

 lich zu kennen brauchen, besteht darin, dass sie nur für unend- 

 lich entfernte Stellen unendlich werden können (und zwar näher 

 bestimmt nur für Stellen für welche x = co). 



Wir wenden daher die WEiERSTRASs'sche Beweismethode 

 nur für den Beweis dieser speciellen Behauptung an. 



Man hat nach Formel I, wenn {xty^ ein mit ix^,y\ nicht 

 äquivalentes Potenzreihenpaar ist, 



Fi{xflj,) = lP{t, t)X^, 



also gleich einer Potenzreihe in t, welche nur dann negative 

 Potenzen von t enthält, wenn Xiyt die Umgebung einer Stelle 

 darstellt für welche x ^= <x> ist. Und zwar kommen in diesem 

 Falle höchstens gewisse bestimmte negative Potenzen von t yo\\ 

 nämlich diejenigen welche in der entsprechenden Entwicklung von 



F{xtyt, x'y') 

 für unbestimmtes {x'y') vorkommen. 



