804 PHRAGMÉN, ÜBER ZERLEGUNG IN IRREDÜKTIBLE PAKTOREN. 



Es haben fs{^l/) und (ps{a'y) = •;. , . keinen gemeinschaftlichen 



Divisor; also können neue Polynome in y gs(-'^"y) und \ps{xy), bzw- 

 von niederem Grade als fs{xy) und ips{^^f/) und deren Koefficienten 

 rational in w sind, so bestimmt werden, dass 



fs{xy)ilJs{xy) 4- (ps{xy)glxy) -= 1 . 



Dann hat der Ausdruck 



(Ps{a;y)glxy) = 1 — flxy) ilhixy) 



die Eigenschaft, gleich Eins zu werden, wenn (xy) die Gleichung 



flxy) = 



befriedigt, aber gleich 0, wenn (xy) einer der Gleichungen 



M^y) = (s'^s) 

 genügt. 



Der Ausdruck 



2sCsCplxy)gs(^'>^y) 



wo die Cs beliebige Konstanten bedeuten, nimmt also auf 

 fs(xy) = den beliebig gegebenen Werth Cs an, und jede ratio- 

 nale Funktion der Stelle (xy), welche nie unendlich wird, kann 

 also einem solchen Ausdruck gleich gesetzt werden. 



Dieselbe Aufgabe kann aber gelöst werden, auch wenn man 

 die Auflösung von f{xy) in irreduktible Faktoren nicht kennt. 



Es sei nämlich (0(xy) eine solche Funktion. Ist (x/yt) ein 

 Paar von Potenzreihen, welches die Umgebung einer Stelle des 

 algebraischen Gebildes f{xy) = darstellt, so muss man haben 



W{xtyc) = lO{xtyty]c^> , 



da die Funktion einen konstanten Werth hat. 



Jetzt wende man den Hilfsatz S. 798 auf die Funktion 



(D{xy) F(xy , xy) 



an, indem Q;y) eine endliche Stelle ist, für welche f{xy)^ 4= ist. 

 Ausserdem sei y der Bedingung unterworfen, dass der Koefficient 

 der höchsten Potenz von x in fix , y) nicht verschwinden soll. 



