806 PHRAGMÉN, ÜBER ZERLEGUNG IN IRREDUKTIBLE FAKTOREN. 



WO die Potenzreihe '^(t,,T) weder von t noch von r negative 

 Potenzen enthält. Also haben wir für t =■■ 



(J){x-,yr) F{xy , ^^ryx)^ 



und also 



= — (D{xy). 



Also haben wir, wenn wir alle Koefficienten von t~'^ summiren 

 (Dixy) = :^lOix]y^[\t, ■ F){xy) ; 



also überhaupt für alle Stellen xy 



0{xy) = 2l(D{xjyj)'\,o • Fx{xy) , 

 oder 

 (5) m{xy) = 2xCxFx{xy) , 



wo die Koefficienten Cx gewisse Konstanten bedeuten. 



Nun stellt dieser Ausdruck zwar nicht immer Funktionen 

 der gesuchten Art dar, da die Funktionen Fi{xy) für gewisse 

 Stellen, nämlich für diejenigen wo x = co ist, unendlich werden 

 können. 



Aber wir wissen, dass wenn (x'^y") ein Potenzreihenpaar ist, 

 welches die Umgebung einer solchen Stelle — ganz oder teil- 

 weise — darstellt, so enthält die Entwicklung von 



Fx(x-yf) 

 nur gewisse bestimmte negative Potenzen von t. Es sei 



Fx{xpj^) = ^rAyß + ^m 



so stellt der Ausdruck (5) immer dann und nur dann eine Funk- 

 tion von der gewünschten Beschaffenheit dar, wenn, für jede in 

 Frage kommende Korabination a,ß 



^K*C, = 



ist. 



