ÖFVBRSIGT AF K. VETBNSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1901, NIO 10. 809 



Einerseits nämlich ergeben die gewöhnlichen Methoden zur 

 Berechnung des Ranges (oder, was dasselbe ist, des Geschlechts) 

 des algebraischen Gebildes, nur dann die Anzahl der linear un- 

 abhängigen unter den nie unendlichen Differentialausdrücken 



H{xy)dx 



w-enn die gegebene Gleichung f{xy) — - irreduktibel ist. Diese 

 Methoden lassen sich nämlich säramtlich in der Formel 



^? 



2 = ^i" 



d , dx 

 — Inof — 



dt « dt 



zusammenfassen, welche unter der obigen Voraussetzung richtig ist. 

 Ist dagegen 



und ist Q, die Anzahl der linear unabhängigen unter den nie 

 unendlichen rationalen Differentialausdrücken für das Gebilde 

 fs{xy) = , so erhält man unmittelbar 



2.-^,-2a=-r^log^"" 

 '^^ \_dt ° dt_ 



Ferner lässt sich aber auch leicht nachweisen, dass ^q, die 

 Anzahl der linear unabhängigen unter den nie unendlichen ratio- 

 nalen Differentialen für das Gebilde f{xy) = angiebt. Wird 

 diese Zahl auch für den allgemeinen Fall als Rang des Gebildes 

 genommen und mit q bezeichnet, so hat man also 



2? 



2(7 = :^ 



d. , dx 



— 100' 



dt '^ dt 



Die nie unendlichen rationalen Differentialen können aber, auch 

 für den allgemeinen Fall, durch die gewöhnlichen Mittel dar- 

 gestellt werden, z. B. kann man setzen 



dx 



H{xy)dx = G{!xy) 



f{^y\ 



W'o G{xy) ein Polynom von x und ;/ bezeichnet, dessen Dimen- 

 sion in Bezug auf x und // höchstens r — 3 ist, wenn r die 



