810 PHRAGMÉN, ÜBEE ZERLEGUNG IN IRREDUKTIBLE FAKTOREN 



Dimension von f{xy) bezeichnet. Die Koefficienten dieses Poly- 

 noms unterliegen ausserdem gewissen linearen Bedingungen, welche 

 leicht aufgestellt werden können. 



Hierdurch wird also q bestimmt, also mit Hilfe der soeben 

 aufgestellten Gleichung auch o. 



In den meisten Fällen wird man ö = 1 finden, und hat also 

 nicht nothig, die schwerfälligere allgemeine Methode für Auf- 

 lösung in irreduktible Faktoren zuzugreifen. 



In vielen Fällen wird es nicht einmal nöthig sein, die An- 

 zahl der linear unabhängigen Differentiale ^erster Art;; zu ermitteln, 

 um sicher zu sein, dass die gegebene Gleichung irreduktibel ist. 

 Definirt man nämlich eine Zahl d, »die Anzahl der Doppel- 

 punkte des Gebildes», durch die Formel 



d = l r(r — 3) 



d , d.v 

 — ioof 



dt ° dt 



so sieht man leicht, dass die Gleichung nothwendig irreduktibel 

 ist, sobald d <C r — 1 . 



Man beweist ebenso leicht, dass, wenn diese Anzahl kleiner als 



a{r — (/) (2a < r) 



ist, /(*'^) nothwendig einen irreduktiblen Divisor von höherer 

 Dimension als der (r — a)^^^ besitzen muss, so dass also die 

 übrigen irreduktiblen Divisoren Dimensionen haben, deren Summe 

 kleiner als a ist. 



Man erhält nämlich unmittelbar den folgenden Satz: 

 Sind die beiden Polynome in x und //, t\{xy) von der Di- 

 nienaion i\ und f^i^^^y) von der Dimension i:,, teilerfremd, und 

 haben die Gleichungen 



/'i('<7/) =^ ^' '"esp. ./2( '''//) ^ ^^ 

 hei der gewählten Zähhing sie eise d^, resp. d.^ Doppelpunkte, 

 so hat die Gleichung 



/,(.r//)-/.(.f'.y) = 

 genau 



(/j + d., + 7', 7% 

 Dop'jx'lpnrikte. 



