52 PINCHERLE, SUR UNE FORMULE DANS LA THEORIE DES FONCTIONS. 



tenant les quantités reelles r comme des ordonnées élevées per- 

 pendiculairement au plan x; Féquation (3) representera une sur- 

 face S dont nous ne considérons que la partie supérieure au 

 plan x^ correspondante aux valeurs positives de r. Pour cliaque 

 valeur de x on trouve m raciues y , qui peuvent avoir des mo- 

 dules différents, ou égaux en tont ou en partie; donc la surface 

 S se compose de vi näppes, distinctes, ou coincidant en tout ou 

 en partie, ou se coupant selon certaines lignes. La courbe C„ 

 s'obtient en projetant sur le plan x la section de S par le plan 

 r ^= q; or, Texamen de la surface met en évidence que la courbe 

 Cp forme la limite de m + 1 aires (connexes ou non) que j'ap- 

 pelle Af^, ^j,..., A,n-, caractérisées de sorte que 2^our chaque 

 point de Ai on ait i racines de module moindre que q. Bien 

 entendu, quelques-unes de ces aires peuvent raanquer, ou se ré- 

 duire a leur contour. Ajoutons qu'en general l'aire Ai est con- 

 tigüe a Ai+i; ou si Ai est contigüe å Ai_^.h le long d'un arc / 

 de 6'^, c'est que les aires At+i,..., At+k — i se réduisent, au 

 moins en partie, a l'arc /. 



Cela pose, l'expression (1) a une valeur déterminée pour 

 chaque point x qui n'est pas sur la courbe C^ : en outre on 

 sait^) par les travaux de M. Hermite que cette expression peut 

 représenter des branches de fonctions analytiques monogenes dif- 

 férentes dans les diverses regions du plan x séparées par la 

 courbe C„. Les diverses branches de cette courbe donnent les 

 coiqjures de l'expression analytique (1). Or, si l'on indique par 

 Ii((f>) la valeur de l'expression (1) pour les points x de l'aire 

 Ai, on aura: 



l:o) que dans l'aire /!„ l'integrale est nulle, c'est a dire 



2:o) que dans l'aire A^, il y a pour chaque point x une 

 racine 6» a l'interieur du cercle q; par conséquent, on a par le 



théorcme de Cauchy, et en posant ^^ ' "'^ — f'(x, y) : 



') Lettre de M. Hermitü å M. Mittag-Leffi.er, »Acta Societatis .Scientiarum 

 Fennicre», t. XII. 



