54 PINCHERLE, SUR UNB FORMULE DANS LA THEORIE DES FONCTIONS. 





4(e+|f 4(8 



pour ^ < 1, le charap Aq est l'interieur de l'ellipse et le cliamp 

 A^ en est l'exterieur, et Ton trouve en appliquant la formule (4) 

 et en faisant fp( ?/) = 1 : 



1 f c/y _ 1 



(6) 7,(1) = 



2TciJ 1 — 2x1/ + ?/2 2V.x"2 



((>) 



oü le radical est pris avec un tel signe que x + ]/a!^-^l soitla 

 racine dont le module est moindre que l'unite. De méme, pour 

 ^ > 1 le champ A^ est l'interieur de l'ellipse et le champ ^^ en 

 est l'exterieur. Si l'on fait ^ = 1, le champ Aq ou A^ se ré- 

 duit au segment — 1 . . . + 1, et l'on a pour tout point .v hors 

 de ce segment 



l f dt/ 1 



27tiJ 1 — 2x1/ + if- 2Vä2 _ 1 

 (1) 



Pour K réel et > 1 en valeur absolue, on retombe sur la 

 formule bien connue 



In 



j de 271 



J cos f) — tt' y^jjS i 







4:o. Le charap A^ ne renferme pas de points critiques; par 

 conséquent dans tout champ B simpleraent connexe (d'une piece 

 et sans trou) faisant partie de A^, la formule (4) se rapporte 

 å une seule et méme racine 8, c'est å dire a une seule et méme 

 brauche de la fonction algébrique ?/ définie par l'equation (2). 



Maintenant, si l'on pose dans (4) 



il vient, dans le champ B, et pour cette racine, l'expressiou 

 <iui me semble offrir de l'analogie avec celle donnée par M. 



