158 CHARLIER, ÖKNINa AF KONVERGENSEN HOS EN TRIGONOM. SERIE. 



Låt (p(cv) vara den funktion, hvilkens utveckling man söker, 

 och antag att den ursprungligen är framstäld genom följande 

 fösa konvergenta trigonometriska serie: 



00 



(1) (y(..^•) = 7 a„i cos mx, 



m = {) 



som är giltig åtminstone för alla värden på x mellan x = O ocli 

 x = 7t, gränserna inklusive; huruvida den äfven utom dessa 

 gränser framställer samma funktion är för den närvarande under- 

 sökningen likgiltigt. För koefficienterna a,„ har man såsom be- 

 kant följande uttryck: 



n 



(1*) 2«m = j cp(a;) COS 7nai da; , 



o 



hvilken formel äfven gäller för ??z =0, om vi i (1) tänka oss 

 ^a^ skrifvet i st. f. a^; detta vilkor skola vi för undvikande af 

 vidlyftighet äfven tänka oss genomfördt öfverallt i senare före- 

 kommande serier. 



För att nu lösa den uppgift, som vi stält oss, nemligen att 

 inom samma gränser framställa (p(x) genom en mera konvergent 

 serie, införa vi en funktion _/(.t') definierad genom följande likhet: 



(2) f(x) = (p(^t)~y 2ßn sinnx, 



71 = 1 



hvarest kvantiteterna ß äro ännu obestämda konstanter och r 

 är ett helt positivt tal. Om det nu vore möjligt att bestämma 

 dessa storheter ß och r så att vi för f(x) erhålla en trigono- 

 metrisk serie af godtycklig på förhand bestämd konvergens^), sa 

 vore frågan löst och vi erhöUe 



(3) cp(x) =f(.x) + y 2ßnsmruv. 



Vi uppställa alltså för f(x) följande från .t- = O till x = tt 

 jiJi Ilande serieutveckling: 



^) Säsom mätt pä konvergensen taga vi liteiihetsovdningen hos «,„ dä m gär 

 mot oüiidÜKheten. 



