160 CHARLIER, ÖKNING AF KONVERGENSEN HQS EN TRIGONOM. SERIE. 



helst, och såsom vi skola finna måste man fördenskull taga 

 r=p — 1, om A.,n skall vara af formen 



2 ™ m^P 7n^p+^ T . . . 



I sjelfva verket behöfva vi endast insätta uttrycket (5) i 

 (4) för att genast inse satsens rigtighet. Om vi nemligen af 



Om behålla alla termer t. o. m. ^f~ ^ samt bringa dem till 



samma nämnare som de termer, som innehålla koefficienterna ß,. 

 så inser man att om vi kalla nämnarens gradtal 2s så blir täl- 

 jarens 2s — 2; vidare äro koefficienterna för m'^^~^, ni^" ^ ^ . . -.. 

 ,^2i— 2r j täljaren lineära funktioner af ß^ . . . ß2r då m är udda,, 

 och af ßi . ■ . ß2r — i då m är jemnt; bestämma vi alltså ßi . . • ßi,- 

 så att nämda koefficienter försvinna, så blir täljaren af grad- 

 talet 2s — 2r — -2, eller om r—p — 1 af gradtalet 2s — 2p. 

 Nämnarens gradtal blir alltså 2p större än täljarens och dermed 

 är satsen bevisad. 



För att belysa fördelen af den här framstälda metoden skola 

 vi använda den samma på de för åtskilliga undersökningar inom 

 störingsteorien så vigtiga trigonometriska serieutvecklingarne af 

 X samt sin (.ix och cos^itA', då (.i är ett irrationelt tal, d. v. s. 

 just de funktioner, för hvilka prof. Gyldén på annan väg här- 

 ledt så konvergenta utvecklingar. Enär de genom ett direkt an- 

 vändande af FouRiERS teorem erhållna serierna äro för praktiskt 

 behof helt och hållet odugliga, då det för en noggranhet af 7 

 decimaler skulle blifva nödvändigt att medtaga mera än 1000 

 termer, så inses att uppställandet af andra serier är oundgängligt. 



Låt oss således till en början betrakta utvecklingen af x. 

 Genom att använda Fouriers teorem erhålles den välkända 

 serieutvecklingen 



00 



(d) '^' = o — / - . — ^ COS mx, 



hvarest m antar alla udda talvärden. 1 detta fall är således 



