ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRFIANDLINGAU 1886, N:0 5. 163 



Antag att vi lia gifvet ett system af r + 1 kvantiteter 



CCq , CC-^ , . . . CCf. 



h vilka som lieist och-skrif 



(11) n^""^ = *"' + ^i"^-^'""' + • • • + ^t""^ (p - o, 1, . . . r) 



der såsom förut index p betecknar att faktorn (x — ap) i produkten 

 fattas; jag skall då bevisa att determinanten 



1, 1, 1, l,...l 



LiO, 7(1) i,(P-l) 7,(P + 1) 7,(r 



K^ , h,^ , . . . li^ 5 «"i ? • • • "-i 



Jr, = 



är lika med produkten Fp af alla differenser mellan rötterna 



r(r-l) 



«o , Oj , . . Up — i, ap + i, . . «,. multiplicerad med ( — 1 ) ^ . D. v. s. 



r(r — 1) 



(12) ^, = (-l)"^P^ 



Pp = («o— «i) («o- «2) • • («o- «P-i) («o - ^p+i) ' • («o— "'•) 



(«j— «2) ••(«!- «j,-l) («1 - «/> + l) • • («1—«^) 



(«^_i — a,.) 



I sjelfva verket försvinner //p om två af rötterna (utom 

 ap) a äro lika, enär i detta fall två af de vertikala raderna 

 blifva lika; Jp måste alltså vara delbar med P^; men nu är 

 enligt (11) Ä: en symmetrisk funktion af a^ ... a^,— !, a^+i...«,- 

 af graden n, alltså är Jp sjelf en alternerande funktion (enär 

 determinantens tecken vexla, om två af rötterna ombytas) af 

 samma kvantiteter, och högst af graden \r — 1, men just af 

 samma gradtal är också Fp. Jp kan således endast skilja sig 

 på tecknet från Fp, och som man lätt finner utgöres den faktor, 



som man skall tillfoga, af ( — 1) ^ • 



Ofvanstående sats (12) kan man också bevisa derigenom att 

 man från alla vertikala rader i determinanten subtraherar den 

 första vertikalraden, derigenom blir Jp reducerad till en deter- 



