'ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1886, N:0 5. 165 



Gyldén framstäldes i Astronomische Nachrichten 1867, n:o 1645. 



Den af honom använda funktionen jcos^'^c?)?- sammanfaller alltså 



o 



i detta fall med den i (2) införda funktionen /(«), och det val, 

 som prof. Gyldén gjort i denna funktion, är således just det 

 bästa som öfver hufvud taget kan göras enär de sålunda er- 

 hålna serierna blifva de mest konvergenta, man på detta sätt 

 kan erhålla. 



Efter den utförliga behandling som kommit utvecklingen af 

 X till del, kunna vi fatta oss kortare med afseende på utveck- 

 lingen af sin i-uv och cos {.ix. I stället för att betrakta hvar och 

 en af dessa funktioner särskildt, behandla vi e'i"^, hvarefter de 

 andra serierna följa genom att helt enkelt skilja den reela och 

 den imaginära delen åt. Den mot (1) svarande utvecklingen 

 af é'>^ är 



(17) 



00 



e'-"^ _ y I cos mx 



^^m = -^^ — sL^o^ niTveM^ — 1] 



2 '" m^—f.i'^ 



Koefficienterna ß bestämma vi som förut så att vi fä den 

 största möjliga konvergens; vilkorsekvationerna blifva liknande 

 de föregående och lata lösa sig medelst samma determinant. Jag 

 uppskrifver derföre endast slutresultaten. Använda vi beteck- 

 ningarna 



a == ifÄ[l + e'>^] 



samt beteckna med Ä och B vissa konstanter endast beroende 

 af r, så erhåller man 



00 2r 



gifxr _- \ (j^^ pQg j.^_^ _|. \ 2iq^ sin 7ix 

 o 1 



hvarest koefficienterna Cm och iqn hafva följande betydelse 



