176 DILLNER, INTEGRATION AF DIFE.-EaV. I N-KROPPARS PROBL. II. 



3. Då funktionerna frs(ccrs)^ ffrsißrs), Ksiyrs) ocli de af dem 

 härledda vederbörliga uttryck, såsom ofvan anmärktes, satisfiera 

 systemen I (20) och (22) samt dessa systems integraluttryck, I 

 (21) och (23), så framgår att, om bemälda funktioner kunna 

 bestämmas så, att de äfven satisfiera alla för öfrigt till proble- 

 met hörande eqvationer, så ha vi i (3) och (4) ett nödigt sy- 

 stem integraler till det framstälda problemet. 



System af 3 (A"^ — 1) integraler till iV-k roppars pro- 

 blemet. 



4. Om vi multiplicera de tre eqvationerna i I (60) med 

 respektive 



vCfsCl^rs IJrs^^rsi yrs^^~rs ~rs^yrsi ^rs^'^rs ^rgd-^rsi 



efter att ha ersatt de med J, Jy, J^ betecknade funktionerna 

 såsom ofvan med frsiccr^i grs(ßrs)i Ks(yrs)-, och om vi derpå ad- 

 dera resultaten fås följande vigtiga eqvation: 



(5) a,.sdfrs(a,.s) + ßrsdgrs{ßrs) + yrsdKs(yrs) = A-^ls"^ 



Vi iakttaga såsom en fundamental egenskap hos areornas 

 difFerentialeqvationer I (20), att de äro homogena med afseende 

 på koordinaterna Xn, yrs-, ^n^ d. v. s. de lida icke någon för- 

 ändring, om dessa koordinater ersättas af produkterna tüA',.«, li'y,-^ 

 wzrs för w = konstant, uttryck, som användas för att ersätta 

 termer i dessa eqvationer, måste derför besitta samma grund- 

 egenskap, att göra eqvationerna homogena. Såsom en nödvändig 

 följd häraf framgår, att venstra leden i systemet I (60) måste 

 liksom de högra vara homogena uttryck af andra dimensionen 

 med afseende på koordinaterna Xrs, yrs-, ^rs-, hvilket enligt (1) 

 kan ega rum endast i det fall, att derivatorna frsi^r^, g'rs{ßrs)i 

 Il rs{y >■$)■> tagna med afseende på de ingående variablerna a,.^, 

 ßrsi 7rsi. äro konstanta. Alltså måste funktionerna frs(ccrs)i 

 Orsißvs)-, fh-siyrs) vara lineära eller af formen: 



