248 ENESTRÖM, INTEGRALEN TILL EN DIFF.EaV. AF N:TE ORDNINGEN. 



der Cj , c, , . . . , c„ _ i äro värdena af . /u ^ „ , _/-i< _ „ , . . . , _/" '" ^le _ „ ,, 

 och dessa utgöra tillsammans med u^n '»■ arbiträra konstanter. 

 BoOLE anser sig således hafva uttryckt den beroende variabeln 

 Ur såsom en funktion af den oberoende variabeln r och n arbi- 

 trära konstanter. Han tillägger, att denna integral är framstäld 

 under en lämpligare form än den motsvarande integralen till en 

 difFerentialeqvation, åtminstone så till vida som termernas antal 

 här är ändligt. 



Det ligger i öppen dag, att Booles bevis gäller blott under 

 förutsättning att r är positiv eller också numeriskt mindre än n.. 

 Är däremot r negativ och numeriskt större än n , blir den fram- 

 stälda serien tydligen oändlig, och något bevis för att den är 

 konvergent är så mycket mindre af BooLE angifvet, som han 

 uttryckligen förklarat att serien alltid är ändlig. Endast i ett' 

 fall skulle Booles bevis kunna fasthållas såsom giltigt för 

 hvarje värde af r, nämligen för specialfallet n = co , men tyd- 

 ligt är, att i detta fall konstanterna i allmänhet icke äro ändliga^, 

 och således hela beviset blir illusoriskt. 



Den påpekade ofullständigheten i bevisföringen torde icke 

 hafva berott på något förbiseende af Boole. Antagligen har 

 han velat bevisa sin sats blott för positiva värden af r, och 

 ansett sig omedelbart i eqvationen 



kunna substituera — r i stället för r, hvarigenom satsen komme 

 att gälla äfven för negativa värden af 7\ Emellertid synes det 

 mig ur rent teoretisk synpunkt vara af intresse att undersöka,, 

 huruvida icke satsen kan oberoende af en sådan Substitution be- 

 visas, så mycket mera, som man därigenom äfven kan besvara 

 följande fråga: är det möjligt att framställa en funktion ii,^, som 

 satisfierar en gifven differenseqvation af w:te ordningen och dess- 

 utom är sådan att ?i/,, ./u/,,...,J"--'^uu hafva på förhand be- 

 stämda värden a^, Cj, . . ., 6'„_i ?i) Tydligen har BoOLE blott 



') Denna fräga har blifvit behnndlad redan af Taylor i Methodus incretnen- 

 lorum prop. 4, der en bevisföring iir antydd, som i afseende pä grundtan- 

 i<en är beslägtad med den hör nedan gifna, ehuru utförandet är väsentligeisi 



